发布时间:2014-03-26

无穷无尽，规律难寻

众所周知，素数是指在大于1的自然数中，只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7、11、13、17……素数神出鬼没，分布得极不规则，而且无穷无尽。
千百年来，人类对素数的探索从未停止过。古希腊数学家欧几里得、数学王子高斯、天才数学家欧拉以及"业余数学家之王"费马……都曾痴迷于素数的无穷魅力，坚持不懈地探索着素数神秘表象背后潜藏的奥秘，努力寻求着通往未知的道路。
令人遗憾的是，虽然人类早在2500多年前就发现了素数，但是时至今日仍然未能完全揭开罩在素数上的神秘面纱，依然有许多素数之谜等待我们去破解。

欧几里得的证明
素数的个数是有限的还是无限的

随着数字的增大，素数的分布变得越来越稀疏，寻找素数也变得越来越困难。那么，会不会在超过某个界限之后就再也不存在素数了呢？还是说，素数是无穷的，不管数字有多大，还是会零星地跳出几个素数呢？
古希腊的数学家欧几里得，用一个非常简单的方法回答了这个问题，证明了素数有无限多个。
欧几里得认为：假设素数是有限的，只有"2、3、5"这3个素数。那么，其余的所有自然数都是这3个素数的乘积，都是合数（参照第26页"1是素数吗？"）。也就是说，其他所有自然数都能被2、3或5整除①。这3个素数的乘积再加1为31（2×3×5+1=31），不管用2，还是用3或5都无法整除，余数都为1。这一结果与①相悖，所以"只有3个素数"的假设是错误的。
那么，我们来增加素数的个数，假设只有"2、3、5、7"这4个素数。这4个素数的乘积加1为2×3×5×7+1=211，既不能被2和3整除，也不能被5和7整除。也就是说，在假设的有限个素数之外，还存在着其他素数。
显然，不管怎样增加素数的个数，得到的结论都相同。只要假设素数是有限的，用上述方法（所有素数相乘再加1）就永远可以得到一个这些素数无法整除的素数。因此，"素数的个数是有限的"这一假设不成立。既然如此，素数也就应该有无穷多个。

寻找最大素数
史上最大素数：拥有1700多万位数

2013年1月25日，经过了4年的空档期之后，数学家终于发现了一个新的、同时也是已知的最大素数，它拥有1700多万位数，大得简直令人难以置信！
在茫茫无边的数字海洋中，人类是怎样找到最大素数的呢？新发现的最大素数可以写成"257885161-1"(2的57885161次方减1）。人们将"2n-1"型的数称为"梅森数"(其中n为素数），可进一步分为梅森素数和梅森合数。这次发现的最大素数也是梅森数，它就属于梅森素数。

修道士与著名猜想
梅森数是根据17世纪法国数学家及修道士马林·梅森（Marin Mersenne）的名字命名的。1644年，梅森在其著作中断言：当n小于257时，只有n=2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257时，2n-1才是素数。
当时，这一猜想的前7个数，即n=2、3、5、7、13、17、19，已经在前人的工作中得到了证实。但是，后面4个数，即n=31、67、127、257的梅森数究竟是不是素数，尚未得到验证，属于被猜测的部分。当时已知的最大素数是524287（n=19的梅森数）。n=127的梅森数就是170141183460469231731687303715884105727，对当时的人们来说，这是一个大得令人难以置信的数字。
几百年来，梅森猜想令一代又一代的数学家非常着迷，他们纷纷投身于寻找最大素数的漫漫征途。1772年，瑞士数学家欧拉证明，n=31的梅森数确实是一个素数。
时间一晃，两个多世纪就过去了。1876年，法国数学家鲁卡斯创立了"鲁卡斯定理"，可以用来检验某个梅森数是否为素数，并证明了n=127的梅森数是一个素数。后来，数学家们发现梅森猜想中的n=67、n=257的梅森数并不是素数，而是合数，并陆续发现n=61、89、107的梅森数也是素数—这3个数是梅森漏掉的。
正因为梅森数最容易验证是否为素数，因此，人们才发现了这个拥有1700多万位数字的最大素数。