发布时间:2008-12-18

为什么需要这种“并不存在的数”？

“一个数，它的平方为负数”，这就是“虚数”。在英语中，“虚数”是“imaginary number”，字面意思是“假想的数”或“虚构的数”。平方等于-1的虚数√-1 有一个专门符号“i”。
正如“虚构的数”这个名称所暗示的，虚数是同我们生活的现实世界毫无关系的数。真实世界中绝不会有“i个苹果”或“i米距离”那样的事物。那么，我们为什么要研究这种并不存在的数呢？
虚数产生于16世纪。当时面临的情况是，如果没有这种“古怪的数”，数学就不会继续发展。再如，在支配微观世界的“量子力学”（量子论）的基本方程中就包含有虚数i。虚数尽管同现实世界没有关系，但是，有了虚数，我们就能够理解甚至一个电子的行为。
本文将介绍当初数学家发明虚数的故事，以及虚数在现实世界中所起的重要作用。

卡尔达诺问题
怎样的两个数相加等于10、相乘等于40？
在普通数中找不到这样两个数……

16世纪的意大利出版了一本书名叫做《大术》（又译《数学大典》）的数学书，在那本书中记载有这样一道数学题：
“有两个数，它们相加之和等于10，相乘之积等于40。这是两个什么数？”
我们先考虑5和5这两个数。5和5的和等于10，但是两者的乘积为25。显然不满足问题的条件。
那么，我们再来考虑“比5大x的数”和“比5小x的数”这两个数，写出来是5＋x和5－x。利用中学所学的公式（a＋b)(a－b)＝a2－b2，这两个数的乘积是（5＋x)(5－x)＝25－x2。
这里x2必定是一个正数。因为，无论x是正数还是负数，正数的平方恒为正数，负数的平方也恒为正数。也就是说，不存在“平方为负数的数”。由此可见，25－x2必定是小于25的数。那么，无论x选择什么数，都不可能得到40。
换句话说，这道数学题没有答案。在初中所学的数学中，答“无解”就是正确的回答。
然而出乎意料的是，在杰罗拉莫·卡尔达诺所写的那本《大术》中却记载有这个问题的具体解（详见后面介绍），也就是说，出现了“平方为负数的数”，即“虚数”。正是在《大术》那本书中，最早提出虚数的概念，使得原来没有答案的问题也有了答案。