流形、同胚、封闭、连通等等是一些多么抽象的名词，拓扑学就是研究这些概念的。仅仅为100多年前提出的庞加莱猜想封个顶，就要用300多页的论文，可见其深奥并非一般。不过，循着这些概念的来龙去脉，还是能进入这座辉煌殿堂的顶层。
今年6月初，中国科学院外籍院士丘成桐在北京宣布：经过美国、俄罗斯、中国数学家30年的共同努力，两位中国数学家—朱熹平和曹怀东最终证明了百年难题—庞加莱猜想。
庞加莱猜想是仅次于黎曼假设之后最为重要的数学难题。2000年5月，美国克莱研究院提出7个世纪难题，每题悬赏百万美元求解，黎曼假设和庞加莱猜想就是其中的两个。庞加莱猜想之所以重要，关键在于它不仅对数学发展本身至关重要，而且对我们认识宇宙很有帮助，它是20世纪“数学女王”—拓扑学的核心问题，在110年前庞加莱创建拓扑学不久就提出来了。因此，庞加莱猜想可以说是拓扑学中最为古老的难题。
庞加莱猜想实际上是庞加莱在1904年提出的一个问题：一个单连通的、封闭的3维流形是否同胚于3维球面？
这样一个表述如此简单的问题，对于受过4年专业训练的大学数学系毕业生来说，也不一定能理解清楚，更何况普通的读者。这个问题虽然才二十几个字，却有6个抽象的关键词：流形、3维流形（更一般来说是维数）、同胚、封闭（常常简称为闭，与开对立）、单连通、3维球面。其实还有两三个关键词隐含在问题的背后：连通、连续变换，而更重要的则是拓扑。这么多抽象概念的确让人不知所云、莫名其妙，这正是隔行的人难以理解拓扑学的主要原因。因此，要想明白庞加莱猜想，需要把拓扑学的一些概念搞清楚。
