数学问题之多、范围之广、解决之难经常会超出人们的想象。但正是这些难题促进了数学的发展。从费马大定理到卡塔兰猜想，都促成了不定方程的发展，同时完善了多种研究数学的方法。接下来，我们将面对的难题是什么呢？
20世纪末，美国数学家安德鲁·威尔斯（Andrew Wiles，1953～今）圆满解决了有350年历史的费马大定理（Fermat′s Last Theorem），也就是：不定方程
xn+yn=zn（n是大于2的整数）
没有非零的整数解。21世纪初，罗马尼亚数学家米哈伊列斯库（P.Mihaileseu）完整地解决了有150年历史的卡塔兰猜想（Catalan′s Conjecture），也就是不定方程
xu-yv=1（u、v是大于1的整数）
只有一组正整数解：x=3，u=2，y=2，v=3，即32-23=1。
不定方程
在中学的代数课中，学过求解一次、二次代数方程以及联立求解一次方程组的方法。这些方程或方程组有一个特点，未知数的数目与方程的数目相等，也就是一个方程一个未知数，两个方程两个未知数，如此等等。这种方程成为确定方程。对于它们，一般有确定的解法，至少解的存在和解的数目比较确定。
但是，
