看似一个窍门或小把戏。但是在数学上，让一条直线处于一条线段里或者将整个平面放入一个圆中都是可能的，这就叫做反演。庞加莱就是用这个方法创立起一门在方寸之内把握无穷的几何学。
计量单位在确定的情况下，所有的实数都分布在一条数轴上，完全“充满了”整个数轴，没有“空隙”。任意一点P，都可以找出一条线段OP与一个实数值相对应。实数即有理数和无理数的集合，与数轴上的点是一一对应的。
令人觉得奇怪的是，0和1之间的点与1和无穷大之间的点都是“同样的多”：事实上，在以O点为起点的数轴上，我们总可以找到在线段OB（B点在数轴的1上）上的任意点A（图1a）的对应点A′，使OA×OA′等于1；因为B点在数轴的1上，所以B点的对应点就是其本身；当任意点A越接近O点时，其对应点（两点互为倒数）A′点就离O点越远；这样O点就与数轴上无穷远的点对应上了。于是，射线的无穷远点经过这样的变换就向O点“靠近”，整条射线变换后就“压缩”在线段OB上。
